Le casier du Paradoxal se compose d'un carré central de quatre cases jaunes, numérotées de 1 à 4, entouré d'une couronne de douze cases, quatre vertes et huit rouges. Seize pions de couleur y prennent place ; ceux de la couronne portent les nombres 1 à 12, qui doivent se suivre comme les heures d'une pendule.
Lucas l'avait d'abord décrit dans le troisième tome de ses Récréations mathématiques en supposant implicitement que le pion vert 1 devait toujours revenir sur la même case verte, la plus voisine de la case jaune 1 : le problème devenait alors impossible dans la moitié des cas. Fleury rectifia : le cadran peut commencer sur n'importe laquelle des quatre cases vertes.
Le jeu doit son nom à deux curiosités mathématiques qu'Henri Fleury se plaisait à souligner. Voici la première : lorsque la solution est impossible en commençant par une case verte, elle devient possible en commençant par la case verte suivante, alors que la figure est parfaitement symétrique. La seconde tient au pion retiré : s'il est jaune, le problème est toujours soluble ; s'il était rouge ou vert, il présenterait des cas possibles et des cas impossibles. C'est pourquoi la règle impose de retirer un pion jaune.
But du jeu
- Amener les trois pions jaunes restants chacun sur sa case, dans le carré central.
- Placer les douze autres pions sur les cases de même couleur, leurs numéros se suivant par ordre de grandeur dans le sens des aiguilles d'une montre, comme les heures d'une pendule. Le pion vert 1 peut occuper n'importe laquelle des quatre cases vertes.
Matériel
- Un casier de 16 cases : un carré central de 4 cases jaunes numérotées 1 à 4, et une couronne de 12 cases, dont 4 vertes et 8 rouges.
- Les cases de la couronne sont reliées de proche en proche. Quatre lignes droites traversent en outre le casier : chacune part d'une case rouge, passe par deux cases du carré central et aboutit à une autre case rouge.
- 16 pions : 4 jaunes numérotés 1, 2, 3, 4 ; 4 verts numérotés 1, 4, 7, 10 ; 8 rouges numérotés 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12.
Mise en place
Les seize pions sont placés au hasard, un sur chaque case.
Le joueur retire alors un pion jaune de son choix. La case qu'il occupait devient la case vide. Seul un pion jaune peut être retiré.
Le problème ainsi posé est toujours soluble.
Déroulement de la partie
Le jeu se joue seul. À chaque coup, on pousse sur la case vide un pion qui lui est relié par une ligne droite, en suivant cette ligne (Fig. 1). Un seul pion se déplace à chaque coup ; la case qu'il quitte devient la nouvelle case vide.
Un pion ne peut jamais sauter par-dessus un autre pion, ni emprunter un chemin qui n'est pas tracé. Il n'y a aucune prise : c'est un pur casse-tête de glissement, dans la tradition du Taquin.
Fin de partie
Le problème est résolu lorsque les trois pions jaunes sont sur leurs cases respectives du carré central et que les douze autres pions de la couronne se trouvent sur les cases de même couleur, et leurs numéros disposés par ordre de grandeur, dans le même sens que ceux qui marquent les heures d'une pendule. La case vide est alors celle du pion jaune retiré (Fig. 2).
Le défi consiste à y parvenir en jouant le moins de coups possible.
Quelques chiffres
- Les seize pions peuvent être placés de 20 922 789 888 000 manières différentes. Avec le retrait d'un pion jaune, toutes donnent un problème soluble.
- Avec seize cases reliées surtout en cercle, les parties du Paradoxal sont beaucoup plus longues que celles du Caméléon : il faut souvent plusieurs dizaines de coups.